Curiosidades

2 - Relação entre Sudoku e Múltiplos de 7

  1- Resolva um sudoku.
  2- Depois considere cada linha como um número de 9 algarismos. Divida esse número por 7 e ache o resto (embaixo ensino uma maneira rápida de fazer isso).
  3- Some os nove restos encontrados (um para cada linha do sudoku) e divida por 7.
  4- O resto dessa última divisão dá sempre 4.

Prova:
 Cada linha pode ser escrita como 7n(i) + r(i), onde n(i) é o resultado da divisão (só a parte inteira), e r(i) é o resto.  Somando todas as nove linhas, dá 7[n(1) + n(2) + ... + n(9)] + r(1) + r(2) + ... + r(9). Ou seja, um múltiplo de 7 mais a soma dos 9 restos. Acontece que a soma das nove linhas dá a soma de cada coluna vezes uma potência de 10.  A soma da coluna mais à direita, mais a soma da segunda coluna vezes 10, mas a soma da terceira coluna vezes 100, e assim por diante.  Mas cada coluna tem todos algarismos de 1 a 9, então a soma dá 45.  Então a soma de todos as nove linhas dá 45 vezes 111.111.111, que é 4.999.999.995, cujo resto pela divisão por 7 dá 4. Então o resto da soma dos restos é sempre 4.
  Isso não ajuda nada a resolver um sudoku, mas prova que é impossível fazer um sudoku com todas as linhas (ou todas as colunas) constituídas de múltiplos de 7.  (A soma dos restos dá sempre uma das seguintes alternativas: 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53.)  Esse resultado é impressionante, pois para cada primeiro algarismo que escolhemos, dos 9 que formam cada linha, há mais de 5000 possibilidades de se compor um múltiplo de 7. O computador acabou de calcular. Há exatamente 51752 múltiplos de 7 que podem aparece no sudoku, ou seja, com 9 algarismos distintos. E não há nenhuma dessas combinações que forme um sudoku completo. As possibilidades são tão grandes, e a prova de sua impossibilidade é assim tão simples!

  No caso de linhas e colunas com seis algarismos distintos, de 1 a 6, é possível construir-se com todas as colunas múltiplas de 7. Isso porque a soma de 1 a 6 dá 21, que é múltiplo de 7, e 111.111 também o é.  A soma dos 6 algarismos de 6 dígitos dá 21 vezes 111.111, múltiplo de 49.  Além disso, cada número feito com os algarismos de 1 a 6, sem repetição, que for múltiplo de 7, continua sendo se a ordem dos números for alterada de forma cíclica: 123.564, 235.641, 356.412, 564.123, 641.235, 412.356.  Isso porque cada número é igual ao anterior multiplicado por 10, e subtraído de 999.999. Como 999.999 é múltiplo de 7 (pois 111.111 o é), o resto não fica alterado.  Então
              123.564
              235.641
              356.412
              564.123
              641.235
              412.356
tem todas as linhas e colunas feitas de 6 algarismos distintos, e todas as linhas (e colunas) compõem um múltiplo de 7.

Para achar o resto de cada linha, use o seguinte processo, conforme explicado no capítulo 1 abaixo:
Suponha que o número seja 536.841.279. Indo do quarto até o sexto algarismo, subtraia ele do que vem três posições à esquerda e vá escrevendo logo abaixo: (8-5),(4-3),(1-6). Como 1 é menor que 6, adicione 7 ao 1 e subtraia de 6:(7+1-6). Obtemos então 3,1,2 que substituirão os três números que estavam originalmente no meio: 312.279.  Repetimos o processo (7+2-3),(7-1),(9-2), obtendo 667.
Decompomos 667 em múltiplos de 7: 667 = 630 + 35 + 2.  Então sobra 2.

Entendeu? Outro exemplo: 219.735.648. Os três do meio menos os três primeiros: (7-2),(3-1),(7+5-9) = 523. Fica 523.648. Repete com os três da direita menos os três da esquerda: (6-5),(4-2),(8-3) = 125.  Decompõe 125 = 70 + 49 +6. Sobra 6.
 Quando aparecer (1-9), acrescenta 14 (2x7) ao 1. 14+1-9 = 6.

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1 -  Múltiplos de 7

    Achar quando um número é múltiplo de 7 ou não é mais complicado que os outros números menores que 10.  Para ver se é múltiplo de 2, basta ver se é par. Para ver se é múltiplo de 4, basta ver se os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4. .
   Para ver se é múltiplo de 9, tira a prova dos 9: Soma todos algarismos e vai dispensando os múltiplos de 9 que aparecem. Por exemplo 2354. Você soma 2+3+5+4. Como 5+4 = 9, você dispensa (noves fora). Só resta 2+3 = 5. Quer dizer que se você dividir 2354 por 9, vai sobrar 5. Outro exemplo: 4835. Some 4+8+3+5 = 20. Aí repete o processo com o resultado obtido: 2+0 = 2. Então se você dividir 4835 por 9 vai sobrar 2.  Na verdade não precisa somar até aparecer um número grande. Quando você somar 4+8, neste último exemplo, que der 12, você faz logo 1+2=3, e usa o 3 no lugar do 12. Assim: 4835 -> 4+8=12 noves fora 3. 3+3 +5=11 noves fora 2. Acabou. Se der noves fora zero, então é múltiplo de 9. Se der um múltiplo de 3 (0, 3, 6 ou 9), então é múltiplo de 3. Se além de ser múltiplo de 3, for par, então é múltiplo de 6.
   No meu tempo a gente aprendia a tirar os nove fora na escola. Hoje não se usa mais, mas é divertido.

   Já para 7 não tem regra. Por isso eu me divirto tentando descobrir se o número da placa do carro da frente é múltiplo de 7 ou não.  Tem algumas dicas.
   (1) Primeiro, 1001 é múltiplo de 7. É 7x143. Então 2002, 3003, 4004, etc., são múltiplos de 7. Daí que se o número da placa for 2345, você diminui logo de 2002 e fica com 343, que tem menos algarismos. Para explicar minhas dicas, vou usar a notação (a,b,c,d) querendo dizer 1000xa +100xb +10xc+d.  Então 2345 = (2,3,4,5), e 343 = (3,4,3), por exemplo.
   (2) Se um número for do tipo (a,b,a) e a + b for múltiplo de 7, então ele é múltiplo de 7. É o caso de 343. 3+4=7. Então (2,3,4,5) -> (3,4,3)  que é múltiplo de 7. Daí que 2345 é múltiplo de 7.
   (3) Se (a,b) for múltiplo de 7, então (a+b,0,b) e (a,0,a+b) também são.  Por exemplo, 301 e 203 são múltiplos de 7, pois vêm de (2,1) -> (2+1,0,1) e (2,0,2+1). Logo 5306 é múltiplo de 7, pois é igual a 5005 + 301.
   Na verdade, a regra geral para achar o resto da divisão de um número (an,...,a3,a2,a1,a0) por um outro número k é fazendo a conta bn*an + ... + b3*a3 + b2*a2 + b1*a1 + b0*a0, onde bn é o resto da divisão de 10 elevado a n por k, etc.
   Por exemplo 1000/7, sobra 6. a3 = 6.       100/7, sobra 2. a2=2.       10/7, sobra 3. a1=3.    1/7, sobra 1. a0 =1.  Então se quero verificar qual o resto da divisão de 2345 por 7, faço as contas 2x6 + 3x2 + 4x3 + 5x1 = 12 + 6 +12 + 5 = 35, que é múltiplo de 7. Mas para não dar um número tão grande assim, é melhor usar a3 = -1, em vez de a3 = 6 (pois 6 = 7-1). Essas contas ficam -2x1 + 3x2 + 4x3  + 5x1 = -2 + 6 + 12 + 5 = 4 + 17 = 21, múltiplo de 7.
   No caso dos nove fora (divisão por 9), o resto de 1000/9, de 100/9, de 10/9 e de 1/9 é tudo 1, por isso que você simplesmente sai somando tudo que é algarismo. Já no caso de 7, você deve multiplicar os algarimos por (-2, -3, -1, 2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1) etc.
   Se quero achar o resto de 23071746 por 7, então descarto logo os múltiplos de 7. Fica 23001046 = (2,3,0,0,1,0,4,6). Aí faça a multiplicação que expliquei aí em cima:
     2x3 + 3x1 - 0x2 - 0x3 - 1x1 + 0x2 + 4x3 + 6x1 = 6 + 3 - 1 +12 + 6 = 26, sobra 5 (26 = 21 + 5).
   Se for número tipo (a,0,0), o resto é o mesmo de 2a. Vem da regra de cima. Por exemplo: 400 tem o mesmo resto que 2x4 = 8, que é 1.  Então considere, por exemplo, 3424. Tira 3003, fica 421. Tira 21, que todos sabem que é múltiplo de 7, fica 400. 2x4 = 8. Sobra 1. Quer dizer que 3423, que é 3424-1,  é múltiplo de 7. É 489x7.
   Se for do tipo (a,0,0,0), o resto é o mesmo de 7-a.  Por exemplo 3000. O resto é 7-4 = 3. Se for 8000, tira 7000 e fica 1000. O resto é 7-1 = 6.
    É bom saber todos os múltiplos de 7 menores que 100: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.  Assim você identifica o resto da divisão do número da placa do carro por 7 mais rápido. (É divertido!)
   Se alguém entendeu, avise.
   Se alguém não entendeu, diga onde empacou, que eu vou melhorando. Por favor, usem os comentários...
   Até a próxima.    

5 comentários:

  1. Muito bom professor. Eu cosntumava somar os números das placas pra ver se dava 7. Agora vou passar a usar essa técnica do senhor.

    Sayonara!

    Leonard

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  2. Até Leonard, meu vizinho, me chamando de professor!
    Mata kite, ne?

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  3. Gildemar!

    Vi um vídeo a sa cara, muito interessante. Você já deve ter visto, mas vale à pena, é pequeno de apenas 2min.

    Abraços

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  4. Pedro Henrique de Carvalho e Meira20 de outubro de 2011 09:57

    http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Ws6AAhTw7RA#!

    Aqui o link

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  5. Gostei demais, Pedro! Enviei o link pra tudo que é amigo. Obrigado.

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